如图 分别以Rt△ABC的斜边AB 直角边AC为边向外作等边三角形ABD
作者&投稿：缑态 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边三角形。已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF~
∴∠EAC=60°，AE=AC
∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F为AB的中点
∴AB=2AF
∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA
∴∠AEF=∠BAC=30°
∴EF⊥AC
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．
解;∵△ACE是等边三角形
∴∠EAC=60°，AE=AC
∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F为AB的中点
∴AB=2AF
∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA
∴∠AEF=∠BAC=30°
∴EF⊥AC
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．
给赞
(1)因为三角形abe是正三角形,ef垂直ab
所以角aef=30度,ae=ab
因为角bac=30度
所以角bac=aef
因为角efa=acb=90度,ae=ab
所以三角形aef全等于三角形bac
所以ac=ef
(2)因为acd是正三角形
所以角dac=60度,ad=ac
因为角bac=30度
所以角dab=90度
因为ef垂直ab即角afe=90度
所以角dab=afe
所以ad平行于ef
因为ad=ac=ef
所以adfe是平行四边形.
∵∠CAB=30°
∴CB=1/2AB=BF
易证△ACB≌△BFE（HL）
∵△ADC为等边三角形
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=60°+30°=90°
∵AD=AC,AF=CB
∴△DAF≌△AEF（边边边）
故四边形ADFE是平行四边形
首先证明EF为圆O的切线
连接OE，角EHF=FEF=DHO
ODH=OEH
ODH+OHD=90
OEF=OEH+HEF=90
故EF为圆O切线
连接OG
三角形CGO全等于EGO
GC=GE
角B+CAB=90°
角FEA+OEA=90°
角OEA=EAO,角GEB=AEF
故角GEB=GBE
三角形GBE为等腰三角形
GB=GE
从而GB=GC
∴∠EAC=60°，AE=AC
∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F为AB的中点
∴AB=2AF
∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA
∴∠AEF=∠BAC=30°
∴EF⊥AC
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．
解;∵△ACE是等边三角形
∴∠EAC=60°，AE=AC
∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F为AB的中点
∴AB=2AF
∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA
∴∠AEF=∠BAC=30°
∴EF⊥AC
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．
给赞
(1)因为三角形abe是正三角形,ef垂直ab
所以角aef=30度,ae=ab
因为角bac=30度
所以角bac=aef
因为角efa=acb=90度,ae=ab
所以三角形aef全等于三角形bac
所以ac=ef
(2)因为acd是正三角形
所以角dac=60度,ad=ac
因为角bac=30度
所以角dab=90度
因为ef垂直ab即角afe=90度
所以角dab=afe
所以ad平行于ef
因为ad=ac=ef
所以adfe是平行四边形.
